\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum28.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.562~~~~~$\displaystyle \int{\cosh{ax}}~dx$} $$\int{\cosh{ax}}= \frac{\sinh{ax}}{a}$$ <<*>>= )spool schaum28.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(cosh(a*x),x) --R --R --R sinh(a x) --R (1) --------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=sinh(a*x)/a --R --R sinh(a x) --R (2) --------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 3 14:562 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.563~~~~~$\displaystyle \int{x\cosh{ax}}~dx$} $$\int{x\cosh{ax}}= \frac{x\sinh{ax}}{a}-\frac{\cosh{ax}}{a^2}$$ <<*>>= )clear all --S 4 aa:=integrate(x*cosh(a*x),x) --R --R --R a x sinh(a x) - cosh(a x) --R (1) ------------------------- --R 2 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 5 bb:=(x*sinh(a*x))/a-cosh(a*x)/a^2 --R --R a x sinh(a x) - cosh(a x) --R (2) ------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 6 14:563 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.564~~~~~$\displaystyle \int{x^2\cosh{ax}}~dx$} $$\int{x^2\cosh{ax}}= -\frac{2x\cosh{ax}}{a^2}+\left(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3}\right)\sinh{ax}$$ <<*>>= )clear all --S 7 aa:=integrate(x^2*cosh(a*x),x) --R --R --R 2 2 --R (a x + 2)sinh(a x) - 2a x cosh(a x) --R (1) ------------------------------------ --R 3 --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 8 bb:=-(2*x*cosh(a*x))/a^2+(x^2/a+2/a^3)*sinh(a*x) --R --R 2 2 --R (a x + 2)sinh(a x) - 2a x cosh(a x) --R (2) ------------------------------------ --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 9 14:564 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.565~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cosh{ax}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\cosh{ax}}{x}}= \ln{x}+\frac{(ax)^2}{2\cdot 2!} +\frac{(ax)^4}{4\cdot 4!} +\frac{(ax)^6}{6\cdot 6!}+\cdots$$ <<*>>= )clear all --S 10 14:565 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cosh(a*x)/x,x) --R --R --R x --I ++ cosh(%N a) --I (1) | ---------- d%N --I ++ %N --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.566~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cosh{ax}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\cosh{ax}}{x^2}}= -\frac{\cosh{ax}}{x}+a\int{\frac{\sinh{ax}}{a}}$$ <<*>>= )clear all --S 11 14:566 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cosh(a*x)/x^2,x) --R --R --R x --I ++ cosh(%N a) --I (1) | ---------- d%N --R ++ 2 --I %N --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.567~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cosh{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{\cosh{ax}}}= \frac{2}{a}\tan^{-1}e^{ax}$$ <<*>>= )clear all --S 12 aa:=integrate(1/cosh(a*x),x) --R --R --R 2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R (1) ---------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 13 bb:=2/a*atan(%e^(a*x)) --R --R a x --R 2atan(%e ) --R (2) ------------ --R a --R Type: Expression Integer --E --S 14 cc:=aa-bb --R --R a x --R 2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) - 2atan(%e ) --R (3) ------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 15 14:567 Schaums and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.568~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{\cosh{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{x}{\cosh{ax}}}= \frac{1}{a^2}\left\{\frac{(ax)^2}{2}-\frac{(ax)^4}{8}+\frac{5(ax)^6}{144} +\cdots+\frac{(-1)^nE_n(ax)^{2n+2}}{(2n+2)(2n)!}+\cdots\right\}$$ <<*>>= )clear all --S 16 14:568 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x/cosh(a*x),x) --R --R --R x --I ++ %N --I (1) | ---------- d%N --I ++ cosh(%N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.569~~~~~$\displaystyle \int{\cosh^2{ax}}~dx$} $$\int{\cosh^2{ax}}= \frac{x}{2}+\frac{\sinh{ax}\cosh{ax}}{2a}$$ Note that the Schaums print edition (1968 printing 3) has a typo: $$\int{\cosh^2{ax}}= \frac{x}{2}+\frac{\sinh{ax}\cosh{ax}}{2}$$ <<*>>= )clear all --S 17 aa:=integrate(cosh(a*x)^2,x) --R --R --R cosh(a x)sinh(a x) + a x --R (1) ------------------------ --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 18 bb:=x/2+(sinh(a*x)*cosh(a*x))/(2*a) --R --R cosh(a x)sinh(a x) + a x --R (2) ------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 19 14:569 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.570~~~~~$\displaystyle \int{x\cosh^2{ax}}~dx$} $$\int{x\cosh^2{ax}}= \frac{x^2}{4}+\frac{x\sinh{2ax}}{4a}-\frac{\cosh{2ax}}{8a^2}$$ <<*>>= )clear all --S 20 aa:=integrate(x*cosh(a*x)^2,x) --R --R --R 2 2 2 2 --R - sinh(a x) + 4a x cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) + 2a x --R (1) ----------------------------------------------------------- --R 2 --R 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 21 bb:=x^2/4+(x*sinh(2*a*x))/(4*a)-cosh(2*a*x)/(8*a^2) --R --R 2 2 --R 2a x sinh(2a x) - cosh(2a x) + 2a x --R (2) ------------------------------------ --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 22 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 --R - 2a x sinh(2a x) - sinh(a x) + 4a x cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) --R + --R 2 --R - cosh(a x) --R / --R 2 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 23 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (4) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 24 dd:=sinhsqrrule cc --R --R (5) --R 2 --R - 4a x sinh(2a x) + 8a x cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) - 2cosh(a x) + 1 --R -------------------------------------------------------------------------- --R 2 --R 16a --R Type: Expression Integer --E --S 25 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (6) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 26 ee:=coshsqrrule dd --R --R - x sinh(2a x) + 2x cosh(a x)sinh(a x) --R (7) -------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 27 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %S sinh(y + x) - %S sinh(y - x) --I (8) %S cosh(y)sinh(x) == ------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 28 14:570 Schaums and Axiom agree ff:=sinhcoshrule ee --R --R (9) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.571~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cosh^2{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{\cosh^2{ax}}}= \frac{\tanh{ax}}{a}$$ <<*>>= )clear all --S 29 aa:=integrate(1/cosh(a*x)^2,x) --R --R --R 2 --R (1) - ------------------------------------------------------- --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 30 bb:=tanh(a*x)/a --R --R tanh(a x) --R (2) --------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 31 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1)tanh(a x) - 2 --R (3) ------------------------------------------------------------------ --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 32 14:571 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 1 --R (4) - - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.572~~~~~$\displaystyle \int{\cosh{ax}\cosh{px}}~dx$} $$\int{\cosh{ax}\cosh{px}}= \frac{\sinh(a-p)x}{2(a-p)}+\frac{\sinh(a+p)x}{2(a+p)}$$ <<*>>= )clear all --S 33 aa:=integrate(cosh(a*x)*cosh(p*x),x) --R --R --R - p cosh(a x)sinh(p x) + a cosh(p x)sinh(a x) --R (1) --------------------------------------------- --R 2 2 2 2 2 2 --R (p - a )sinh(a x) + (- p + a )cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 34 bb:=(sinh(a-p)*x)/(2*(a-p))+(sinh(a+p)*x)/(2*(a+p)) --R --R (p - a)x sinh(p + a) + (p + a)x sinh(p - a) --R (2) ------------------------------------------- --R 2 2 --R 2p - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 35 cc:=aa-bb --R --R (3) --R - 2p cosh(a x)sinh(p x) --R + --R 2 --R ((- p + a)x sinh(p + a) + (- p - a)x sinh(p - a))sinh(a x) --R + --R 2 --R 2a cosh(p x)sinh(a x) + (p - a)x cosh(a x) sinh(p + a) --R + --R 2 --R (p + a)x cosh(a x) sinh(p - a) --R / --R 2 2 2 2 2 2 --R (2p - 2a )sinh(a x) + (- 2p + 2a )cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 36 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (4) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 37 dd:=sinhsqrrule cc --R --R (5) --R - 4p cosh(a x)sinh(p x) + 4a cosh(p x)sinh(a x) --R + --R 2 --R ((- p + a)x cosh(2a x) + (2p - 2a)x cosh(a x) + (p - a)x)sinh(p + a) --R + --R 2 --R ((- p - a)x cosh(2a x) + (2p + 2a)x cosh(a x) + (p + a)x)sinh(p - a) --R / --R 2 2 2 2 2 2 2 --R (2p - 2a )cosh(2a x) + (- 4p + 4a )cosh(a x) - 2p + 2a --R Type: Expression Integer --E --S 38 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (6) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 39 ee:=coshsqrrule dd --R --R (7) --R 2p cosh(a x)sinh(p x) - 2a cosh(p x)sinh(a x) + (- p + a)x sinh(p + a) --R + --R (- p - a)x sinh(p - a) --R / --R 2 2 --R 2p - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 40 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %V sinh(y + x) - %V sinh(y - x) --I (8) %V cosh(y)sinh(x) == ------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 41 14:572 Axiom cannot simplify this expression ff:=sinhcoshrule ee --R --R (9) --R (p - a)sinh((p + a)x) + (p + a)sinh((p - a)x) + (- p + a)x sinh(p + a) --R + --R (- p - a)x sinh(p - a) --R / --R 2 2 --R 2p - 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.573~~~~~$\displaystyle \int{\cosh{ax}\sin{px}}~dx$} $$\int{\cosh{ax}\sin{px}}= \frac{a\sinh{ax}\sin{px}-p\cosh{ax}\cos{px}}{a^2+p^2}$$ <<*>>= )clear all --S 42 aa:=integrate(cosh(a*x)*sin(p*x),x) --R --R --R (1) --R 2 --R (a sin(p x) - p cos(p x))sinh(a x) --R + --R (2a cosh(a x)sin(p x) - 2p cos(p x)cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 2 2 --R (a cosh(a x) - a)sin(p x) - p cos(p x)cosh(a x) - p cos(p x) --R / --R 2 2 2 2 --R (2p + 2a )sinh(a x) + (2p + 2a )cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 43 bb:=(a*sinh(a*x)*sin(p*x)-p*cosh(a*x)*cos(p*x))/(a^2+p^2) --R --R a sin(p x)sinh(a x) - p cos(p x)cosh(a x) --R (2) ----------------------------------------- --R 2 2 --R p + a --R Type: Expression Integer --E --S 44 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 --R (- a sin(p x) - p cos(p x))sinh(a x) + (a cosh(a x) - a)sin(p x) --R + --R 2 --R p cos(p x)cosh(a x) - p cos(p x) --R / --R 2 2 2 2 --R (2p + 2a )sinh(a x) + (2p + 2a )cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 45 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (4) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 46 dd:=coshsqrrule cc --R --R (5) --R 2 --R (- 2a sin(p x) - 2p cos(p x))sinh(a x) + (a cosh(2a x) - a)sin(p x) --R + --R p cos(p x)cosh(2a x) - p cos(p x) --R / --R 2 2 2 2 --R (4p + 4a )sinh(a x) + (4p + 4a )cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 47 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (6) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 48 14:573 Schaums and Axiom agree ee:=sinhsqrrule dd --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.574~~~~~$\displaystyle \int{\cosh{ax}\cos{px}}~dx$} $$\int{\cosh{ax}\cos{px}}= \frac{a\sinh{ax}\cos{px}+p\cosh{ax}\sin{px}}{a^2+p^2}$$ <<*>>= )clear all --S 49 aa:=integrate(cosh(a*x)*cos(p*x),x) --R --R --R (1) --R 2 --R (p sin(p x) + a cos(p x))sinh(a x) --R + --R (2p cosh(a x)sin(p x) + 2a cos(p x)cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 2 2 --R (p cosh(a x) + p)sin(p x) + a cos(p x)cosh(a x) - a cos(p x) --R / --R 2 2 2 2 --R (2p + 2a )sinh(a x) + (2p + 2a )cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 50 bb:=(a*sinh(a*x)*cos(p*x)+p*cosh(a*x)*sin(p*x))/(a^2+p^2) --R --R a cos(p x)sinh(a x) + p cosh(a x)sin(p x) --R (2) ----------------------------------------- --R 2 2 --R p + a --R Type: Expression Integer --E --S 51 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 --R (p sin(p x) - a cos(p x))sinh(a x) + (- p cosh(a x) + p)sin(p x) --R + --R 2 --R a cos(p x)cosh(a x) - a cos(p x) --R / --R 2 2 2 2 --R (2p + 2a )sinh(a x) + (2p + 2a )cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 52 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (4) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 53 dd:=coshsqrrule cc --R --R (5) --R 2 --R (2p sin(p x) - 2a cos(p x))sinh(a x) + (- p cosh(2a x) + p)sin(p x) --R + --R a cos(p x)cosh(2a x) - a cos(p x) --R / --R 2 2 2 2 --R (4p + 4a )sinh(a x) + (4p + 4a )cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 54 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (6) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 55 14:574 Schaums and Axiom agree ee:=sinhsqrrule dd --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.575~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cosh{ax}+1}}$} $$\int{\frac{1}{\cosh{ax}+1}}= \frac{1}{a}\tanh{\frac{ax}{2}}$$ <<*>>= )clear all --S 56 aa:=integrate(1/(cosh(a*x)+1),x) --R --R --R 2 --R (1) - ----------------------------- --R a sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 57 bb:=1/a*tanh((a*x)/2) --R --R a x --R tanh(---) --R 2 --R (2) --------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 58 cc:=aa-bb --R --R a x --R (- sinh(a x) - cosh(a x) - 1)tanh(---) - 2 --R 2 --R (3) ------------------------------------------ --R a sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 59 tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x)) --R --R sinh(x) --R (4) tanh(x) == ------- --R cosh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 60 dd:=tanhrule cc --R --R a x a x a x --R - sinh(---)sinh(a x) + (- cosh(a x) - 1)sinh(---) - 2cosh(---) --R 2 2 2 --R (5) -------------------------------------------------------------- --R a x a x a x --R a cosh(---)sinh(a x) + a cosh(---)cosh(a x) + a cosh(---) --R 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 61 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %BC sinh(y + x) - %BC sinh(y - x) --I (6) %BC cosh(y)sinh(x) == ------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 62 ee:=sinhcoshrule dd --R --R 3a x a x a x a x --R - sinh(----) - 2sinh(---)sinh(a x) - sinh(---) - 4cosh(---) --R 2 2 2 2 --R (7) ----------------------------------------------------------------- --R 3a x a x a x a x --R a sinh(----) + a sinh(---) + 2a cosh(---)cosh(a x) + 2a cosh(---) --R 2 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 63 sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y))) --R --I %BD sinh(y + x) - %BD sinh(y - x) --I (8) %BD cosh(y)sinh(x) == ------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 64 ff:=sinhsinhrule ee --R --R 3a x a x 3a x a x --R - sinh(----) - sinh(---) - cosh(----) - 3cosh(---) --R 2 2 2 2 --R (9) ----------------------------------------------------------------- --R 3a x a x a x a x --R a sinh(----) + a sinh(---) + 2a cosh(---)cosh(a x) + 2a cosh(---) --R 2 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 65 coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y))) --R --I %BC cosh(y + x) + %BC cosh(y - x) --I (10) %BC cosh(x)cosh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 66 14:575 Schaums and Axiom differ by a constant gg:=coshcoshrule ff --R --R 1 --R (11) - - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.576~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cosh{ax}-1}}$} $$\int{\frac{1}{\cosh{ax}-1}}= -\frac{1}{a}\coth{\frac{ax}{2}}$$ <<*>>= )clear all --S 67 aa:=integrate(1/(cosh(a*x)-1),x) --R --R --R 2 --R (1) - ----------------------------- --R a sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 68 bb:=-1/a*coth((a*x)/2) --R --R a x --R coth(---) --R 2 --R (2) - --------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 69 cc:=aa-bb --R --R a x a x --R coth(---)sinh(a x) + (cosh(a x) - 1)coth(---) - 2 --R 2 2 --R (3) ------------------------------------------------- --R a sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Expression Integer --E --S 70 cothrule:=rule(coth(x) == cosh(x)/sinh(x)) --R --R cosh(x) --R (4) coth(x) == ------- --R sinh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 71 dd:=cothrule cc --R --R a x a x a x a x --R cosh(---)sinh(a x) - 2sinh(---) + cosh(---)cosh(a x) - cosh(---) --R 2 2 2 2 --R (5) ---------------------------------------------------------------- --R a x a x --R a sinh(---)sinh(a x) + (a cosh(a x) - a)sinh(---) --R 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 72 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %BD sinh(y + x) - %BD sinh(y - x) --I (6) %BD cosh(y)sinh(x) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 73 ee:=sinhcoshrule dd --R --R 3a x a x a x a x --R sinh(----) - 3sinh(---) + 2cosh(---)cosh(a x) - 2cosh(---) --R 2 2 2 2 --R (7) ---------------------------------------------------------- --R 3a x a x a x --R a sinh(----) + 2a sinh(---)sinh(a x) - 3a sinh(---) --R 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 74 sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y))) --R --I %BE cosh(y + x) - %BE cosh(y - x) --I (8) %BE sinh(x)sinh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 75 ff:=sinhsinhrule ee --R --R 3a x a x a x a x --R sinh(----) - 3sinh(---) + 2cosh(---)cosh(a x) - 2cosh(---) --R 2 2 2 2 --R (9) ---------------------------------------------------------- --R 3a x a x 3a x a x --R a sinh(----) - 3a sinh(---) + a cosh(----) - a cosh(---) --R 2 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 76 coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y))) --R --I %BF cosh(y + x) + %BF cosh(y - x) --I (10) %BF cosh(x)cosh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 77 14:576 Schaums and Axiom differ by a constant gg:=coshcoshrule ff --R --R 1 --R (11) - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.577~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{\cosh{ax}+1}}~dx$} $$\int{\frac{x}{\cosh{ax}+1}}= \frac{x}{a}\tanh\frac{ax}{2}-\frac{2}{a^2}\ln\cosh\frac{ax}{2}$$ <<*>>= )clear all --S 78 aa:=integrate(x/(cosh(a*x)+1),x) --R --R --R (1) --R (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2a x sinh(a x) + 2a x cosh(a x) --R / --R 2 2 2 --R a sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 79 bb:=x/a*tanh((a*x)/2)-2/a^2*log(cosh((a*x)/2)) --R --R a x a x --R - 2log(cosh(---)) + a x tanh(---) --R 2 2 --R (2) --------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 80 cc:=aa-bb --R --R (3) --R (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R a x --R (2sinh(a x) + 2cosh(a x) + 2)log(cosh(---)) --R 2 --R + --R a x --R (- a x sinh(a x) - a x cosh(a x) - a x)tanh(---) + 2a x sinh(a x) --R 2 --R + --R 2a x cosh(a x) --R / --R 2 2 2 --R a sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 81 tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x)) --R --R sinh(x) --R (4) tanh(x) == ------- --R cosh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 82 dd:=tanhrule cc --R --R (5) --R a x a x a x --R (- 2cosh(---)sinh(a x) - 2cosh(---)cosh(a x) - 2cosh(---)) --R 2 2 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R a x a x a x a x --R (2cosh(---)sinh(a x) + 2cosh(---)cosh(a x) + 2cosh(---))log(cosh(---)) --R 2 2 2 2 --R + --R a x a x --R (- a x sinh(---) + 2a x cosh(---))sinh(a x) --R 2 2 --R + --R a x a x --R (- a x cosh(a x) - a x)sinh(---) + 2a x cosh(---)cosh(a x) --R 2 2 --R / --R 2 a x 2 a x 2 a x --R a cosh(---)sinh(a x) + a cosh(---)cosh(a x) + a cosh(---) --R 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 83 coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y))) --R --I %BG cosh(y + x) + %BG cosh(y - x) --I (6) %BG cosh(x)cosh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 84 ee:=coshcoshrule dd --R --R (7) --R a x 3a x a x --R (- 4cosh(---)sinh(a x) - 2cosh(----) - 6cosh(---)) --R 2 2 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R a x 3a x a x a x --R (4cosh(---)sinh(a x) + 2cosh(----) + 6cosh(---))log(cosh(---)) --R 2 2 2 2 --R + --R a x a x --R (- 2a x sinh(---) + 4a x cosh(---))sinh(a x) --R 2 2 --R + --R a x 3a x a x --R (- 2a x cosh(a x) - 2a x)sinh(---) + 2a x cosh(----) + 2a x cosh(---) --R 2 2 2 --R / --R 2 a x 2 3a x 2 a x --R 2a cosh(---)sinh(a x) + a cosh(----) + 3a cosh(---) --R 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 85 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %BH sinh(y + x) - %BH sinh(y - x) --I (8) %BH cosh(y)sinh(x) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 86 ff:=sinhcoshrule ee --R --R (9) --R 3a x a x 3a x a x --R (- 2sinh(----) - 2sinh(---) - 2cosh(----) - 6cosh(---)) --R 2 2 2 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 3a x a x 3a x a x a x --R (2sinh(----) + 2sinh(---) + 2cosh(----) + 6cosh(---))log(cosh(---)) --R 2 2 2 2 2 --R + --R 3a x a x a x --R a x sinh(----) - 2a x sinh(---)sinh(a x) + a x sinh(---) --R 2 2 2 --R + --R 3a x a x --R 2a x cosh(----) + 2a x cosh(---) --R 2 2 --R / --R 2 3a x 2 a x 2 3a x 2 a x --R a sinh(----) + a sinh(---) + a cosh(----) + 3a cosh(---) --R 2 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 87 sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y))) --R --I %BI cosh(y + x) - %BI cosh(y - x) --I (10) %BI sinh(x)sinh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 88 gg:=sinhsinhrule ff --R --R a x --R - 2log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) + 2log(cosh(---)) + a x --R 2 --R (11) --------------------------------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 89 14:577 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize gg --R --R 2log(2) --R (12) - ------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.578~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{\cosh{ax}-1}}$} $$\int{\frac{x}{\cosh{ax}-1}} -\frac{x}{a}\coth\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\sinh\frac{ax}{2}$$ <<*>>= )clear all --S 90 aa:=integrate(x/(cosh(a*x)-1),x) --R --R --R (1) --R (2sinh(a x) + 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R - 2a x sinh(a x) - 2a x cosh(a x) --R / --R 2 2 2 --R a sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 91 bb:=-x/a*coth((a*x)/2)+2/a^2*log(sinh((a*x)/2)) --R --R a x a x --R 2log(sinh(---)) - a x coth(---) --R 2 2 --R (2) ------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 92 cc:=aa-bb --R --R (3) --R (2sinh(a x) + 2cosh(a x) - 2)log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R a x --R (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x) + 2)log(sinh(---)) --R 2 --R + --R a x a x --R (a x coth(---) - 2a x)sinh(a x) + (a x cosh(a x) - a x)coth(---) --R 2 2 --R + --R - 2a x cosh(a x) --R / --R 2 2 2 --R a sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Expression Integer --E --S 93 cothrule:=rule(coth(x) == cosh(x)/sinh(x)) --R --R cosh(x) --R (4) coth(x) == ------- --R sinh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 94 dd:=cothrule cc --R --R (5) --R a x a x --R (2sinh(---)sinh(a x) + (2cosh(a x) - 2)sinh(---)) --R 2 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R a x a x a x --R (- 2sinh(---)sinh(a x) + (- 2cosh(a x) + 2)sinh(---))log(sinh(---)) --R 2 2 2 --R + --R a x a x a x --R (- 2a x sinh(---) + a x cosh(---))sinh(a x) - 2a x cosh(a x)sinh(---) --R 2 2 2 --R + --R a x a x --R a x cosh(---)cosh(a x) - a x cosh(---) --R 2 2 --R / --R 2 a x 2 2 a x --R a sinh(---)sinh(a x) + (a cosh(a x) - a )sinh(---) --R 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 95 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %BJ sinh(y + x) - %BJ sinh(y - x) --I (6) %BJ cosh(y)sinh(x) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 96 ee:=sinhcoshrule dd --R --R (7) --R 3a x a x a x --R (2sinh(----) + 4sinh(---)sinh(a x) - 6sinh(---)) --R 2 2 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 3a x a x a x a x --R (- 2sinh(----) - 4sinh(---)sinh(a x) + 6sinh(---))log(sinh(---)) --R 2 2 2 2 --R + --R 3a x a x a x --R - a x sinh(----) - 4a x sinh(---)sinh(a x) + 3a x sinh(---) --R 2 2 2 --R + --R a x a x --R 2a x cosh(---)cosh(a x) - 2a x cosh(---) --R 2 2 --R / --R 2 3a x 2 a x 2 a x --R a sinh(----) + 2a sinh(---)sinh(a x) - 3a sinh(---) --R 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 97 sinhsinhrule:=rule(sinh(x)*sinh(y)==1/2*(cosh(x+y)-cosh(x-y))) --R --I %BK cosh(y + x) - %BK cosh(y - x) --I (8) %BK sinh(x)sinh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 98 ff:=sinhsinhrule ee --R --R (9) --R 3a x a x 3a x a x --R (2sinh(----) - 6sinh(---) + 2cosh(----) - 2cosh(---)) --R 2 2 2 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 3a x a x 3a x a x a x --R (- 2sinh(----) + 6sinh(---) - 2cosh(----) + 2cosh(---))log(sinh(---)) --R 2 2 2 2 2 --R + --R 3a x a x 3a x --R - a x sinh(----) + 3a x sinh(---) - 2a x cosh(----) --R 2 2 2 --R + --R a x --R 2a x cosh(---)cosh(a x) --R 2 --R / --R 2 3a x 2 a x 2 3a x 2 a x --R a sinh(----) - 3a sinh(---) + a cosh(----) - a cosh(---) --R 2 2 2 2 --R Type: Expression Integer --E --S 99 coshcoshrule:=rule(cosh(x)*cosh(y)==1/2*(cosh(x+y)+cosh(x-y))) --R --I %BL cosh(y + x) + %BL cosh(y - x) --I (10) %BL cosh(x)cosh(y) == --------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 100 gg:=coshcoshrule ff --R --R a x --R 2log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) - 2log(sinh(---)) - a x --R 2 --R (11) ------------------------------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 101 14:578 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R 2log(2) --R (12) ------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.579~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(\cosh{ax}+1)^2}}$} $$\int{\frac{1}{(\cosh{ax}+1)^2}}= \frac{1}{2a}\tanh{\frac{ax}{2}}-\frac{1}{6a}\tanh^3{\frac{ax}{2}}$$ <<*>>= )clear all --S 102 aa:=integrate(1/(cosh(a*x)+1)^2,x) --R --R --R (1) --R - 6sinh(a x) - 6cosh(a x) - 2 --R / --R 3 2 --R 3a sinh(a x) + (9a cosh(a x) + 9a)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (9a cosh(a x) + 18a cosh(a x) + 9a)sinh(a x) + 3a cosh(a x) --R + --R 2 --R 9a cosh(a x) + 9a cosh(a x) + 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 103 bb:=1/(2*a)*tanh((a*x)/2)-1/(6*a)*tanh((a*x)/2)^3 --R --R a x 3 a x --R - tanh(---) + 3tanh(---) --R 2 2 --R (2) ------------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 104 14:579 Axiom cannot compute this integral cc:=aa-bb --R --R (3) --R 3 2 --R sinh(a x) + (3cosh(a x) + 3)sinh(a x) --R + --R 2 3 2 --R (3cosh(a x) + 6cosh(a x) + 3)sinh(a x) + cosh(a x) + 3cosh(a x) --R + --R 3cosh(a x) + 1 --R * --R a x 3 --R tanh(---) --R 2 --R + --R 3 2 --R - 3sinh(a x) + (- 9cosh(a x) - 9)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (- 9cosh(a x) - 18cosh(a x) - 9)sinh(a x) - 3cosh(a x) --R + --R 2 --R - 9cosh(a x) - 9cosh(a x) - 3 --R * --R a x --R tanh(---) --R 2 --R + --R - 12sinh(a x) - 12cosh(a x) - 4 --R / --R 3 2 --R 6a sinh(a x) + (18a cosh(a x) + 18a)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (18a cosh(a x) + 36a cosh(a x) + 18a)sinh(a x) + 6a cosh(a x) --R + --R 2 --R 18a cosh(a x) + 18a cosh(a x) + 6a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.580~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(\cosh{ax}-1)^2}}$} $$\int{\frac{1}{(\cosh{ax}-1)^2}}= \frac{1}{2a}\coth{\frac{ax}{2}}-\frac{1}{6a}\coth^3{\frac{ax}{2}}$$ <<*>>= )clear all --S 105 aa:=integrate(1/(cosh(a*x)-1)^2,x) --R --R --R (1) --R - 6sinh(a x) - 6cosh(a x) + 2 --R / --R 3 2 --R 3a sinh(a x) + (9a cosh(a x) - 9a)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (9a cosh(a x) - 18a cosh(a x) + 9a)sinh(a x) + 3a cosh(a x) --R + --R 2 --R - 9a cosh(a x) + 9a cosh(a x) - 3a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 106 bb:=1/(2*a)*coth((a*x)/2)-1/(6*a)*coth((a*x)/2)^3 --R --R a x 3 a x --R - coth(---) + 3coth(---) --R 2 2 --R (2) ------------------------- --R 6a --R Type: Expression Integer --E --S 107 14:580 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R a x 3 a x 3 --R (coth(---) - 3coth(---))sinh(a x) --R 2 2 --R + --R a x 3 a x 2 --R ((3cosh(a x) - 3)coth(---) + (- 9cosh(a x) + 9)coth(---))sinh(a x) --R 2 2 --R + --R 2 a x 3 --R (3cosh(a x) - 6cosh(a x) + 3)coth(---) --R 2 --R + --R 2 a x --R (- 9cosh(a x) + 18cosh(a x) - 9)coth(---) - 12 --R 2 --R * --R sinh(a x) --R + --R 3 2 a x 3 --R (cosh(a x) - 3cosh(a x) + 3cosh(a x) - 1)coth(---) --R 2 --R + --R 3 2 a x --R (- 3cosh(a x) + 9cosh(a x) - 9cosh(a x) + 3)coth(---) - 12cosh(a x) + 4 --R 2 --R / --R 3 2 --R 6a sinh(a x) + (18a cosh(a x) - 18a)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (18a cosh(a x) - 36a cosh(a x) + 18a)sinh(a x) + 6a cosh(a x) --R + --R 2 --R - 18a cosh(a x) + 18a cosh(a x) - 6a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.581~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p+q\cosh{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p+q\cosh{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{2}{a\sqrt{q^2-p^2}}\tan^{-1}\frac{qe^{ax}+p}{\sqrt{q^2-p^2}}\\ \\ \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{p^2-a^2}}\ln\left(\frac{qe^{ax}+p-\sqrt{p^2-q^2}} {qe^{ax}+p+\sqrt{p^2-q^2}}\right) \end{array} \right.$$ <<*>>= )clear all --S 108 aa:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x)),x) --R --R --R (1) --R [ --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R , --R +-------+ --R | 2 2 --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R 2atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R ------------------------------------------------] --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 109 bb1:=2/(a*sqrt(q^2-p^2))*atan((q*%e^(a*x)+p)/sqrt(q^2-p^2)) --R --R a x --R q %e + p --R 2atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R (2) ------------------ --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 110 bb2:=1/(a*sqrt(p^2-q^2))*log((q*%e^(a*x)+p-sqrt(p^2-q^2))/(q*%e^(a*x)+p+sqrt(p^2-q^2))) --R --R +---------+ --R | 2 2 a x --R - \|- q + p + q %e + p --R log(----------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 a x --R \|- q + p + q %e + p --R (3) --------------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 111 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +---------+ a x --R | 2 2 q %e + p --R - 2\|- q + p atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 112 cc2:=aa.2-bb1 --R --R +-------+ --R | 2 2 a x --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p q %e + p --R 2atan(-----------------------------------------) - 2atan(-----------) --R 2 2 +-------+ --R q - p | 2 2 --R \|q - p --R (5) --------------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 113 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 a x --R - \|- q + p + q %e + p --R - log(----------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 a x --R \|- q + p + q %e + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 114 14:581 Axiom cannot simplify this expression cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 a x --R | 2 2 - \|- q + p + q %e + p --R - \|q - p log(----------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 a x --R \|- q + p + q %e + p --R + --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R 2\|- q + p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.582~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(p+q\cosh{ax})^2}}~dx$} $$\int{\frac{1}{(p+q\cosh{ax})^2}}= \frac{q\sinh{ax}}{a(q^2-p^2)(p+q\cosh{ax})} -\frac{p}{q^2-p^2}\int{\frac{1}{p+q\cosh{ax}}}$$ <<*>>= )clear all --S 115 aa:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x))^2,x) --R --R --R (1) --R [ --R 2 2 2 --R p q sinh(a x) + (2p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x) --R + --R 2 --R 2p cosh(a x) + p q --R * --R log --R 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R q cosh(a x) + 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 2q + 2p q)sinh(a x) + (- 2q + 2p q)cosh(a x) - 2p q + 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R (- 2p sinh(a x) - 2p cosh(a x) - 2q)\|- q + p --R / --R 3 2 2 --R (a q - a p q)sinh(a x) --R + --R 3 2 2 3 --R ((2a q - 2a p q)cosh(a x) + 2a p q - 2a p )sinh(a x) --R + --R 3 2 2 2 3 3 2 --R (a q - a p q)cosh(a x) + (2a p q - 2a p )cosh(a x) + a q - a p q --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R , --R --R 2 2 --R - 2p q sinh(a x) + (- 4p q cosh(a x) - 4p )sinh(a x) --R + --R 2 2 --R - 2p q cosh(a x) - 4p cosh(a x) - 2p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R (- 2p sinh(a x) - 2p cosh(a x) - 2q)\|q - p --R / --R 3 2 2 --R (a q - a p q)sinh(a x) --R + --R 3 2 2 3 --R ((2a q - 2a p q)cosh(a x) + 2a p q - 2a p )sinh(a x) --R + --R 3 2 2 2 3 3 2 --R (a q - a p q)cosh(a x) + (2a p q - 2a p )cosh(a x) + a q - a p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 116 t1:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x)),x) --R --R (2) --R [ --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R , --R +-------+ --R | 2 2 --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R 2atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R ------------------------------------------------] --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 117 bb1:=(q*sinh(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cosh(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.1 --R --R (3) --R 2 --R (- p q cosh(a x) - p ) --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R q sinh(a x)\|- q + p --R / --R +---------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)cosh(a x) + a p q - a p )\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 118 bb2:=(q*sinh(a*x))/(a*(q^2-p^2)*(p+q*cosh(a*x)))-p/(q^2-p^2)*t1.2 --R --R (4) --R +-------+ --R | 2 2 --R 2 (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R (- 2p q cosh(a x) - 2p )atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R q sinh(a x)\|q - p --R / --R +-------+ --R 3 2 2 3 | 2 2 --R ((a q - a p q)cosh(a x) + a p q - a p )\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 119 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R 2 2 2 --R (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 3 --R (2p q cosh(a x) + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 --R 3p q cosh(a x) + (p q + 2p )cosh(a x) + p q --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R 2 2 2 --R (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 3 --R (2p q cosh(a x) + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 --R 3p q cosh(a x) + (p q + 2p )cosh(a x) + p q --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 2q + 2p q)sinh(a x) + (- 2q + 2p q)cosh(a x) - 2p q + 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R 2 3 2 2 --R - q sinh(a x) + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (- q cosh(a x) - 4p q cosh(a x) - q - 2p )sinh(a x) --R + --R 2 2 2 --R - 2p q cosh(a x) + (- 2q - 2p )cosh(a x) - 2p q --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R / --R 4 2 2 3 3 2 --R ((a q - a p q )cosh(a x) + a p q - a p q)sinh(a x) --R + --R 4 2 2 2 3 3 2 2 --R (2a q - 2a p q )cosh(a x) + (4a p q - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q --R + --R 4 --R - 2a p --R * --R sinh(a x) --R + --R 4 2 2 3 3 3 2 --R (a q - a p q )cosh(a x) + (3a p q - 3a p q)cosh(a x) --R + --R 4 2 2 4 3 3 --R (a q + a p q - 2a p )cosh(a x) + a p q - a p q --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 120 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R 2 2 2 --R (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 3 --R (2p q cosh(a x) + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 --R 3p q cosh(a x) + (p q + 2p )cosh(a x) + p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R 2 2 2 --R (- 2p q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 3 --R (- 4p q cosh(a x) - 8p q cosh(a x) - 4p )sinh(a x) - 2p q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 --R - 6p q cosh(a x) + (- 2p q - 4p )cosh(a x) - 2p q --R * --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R \|- q + p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R 2 3 2 2 --R - q sinh(a x) + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (- q cosh(a x) - 4p q cosh(a x) - q - 2p )sinh(a x) --R + --R 2 2 2 --R - 2p q cosh(a x) + (- 2q - 2p )cosh(a x) - 2p q --R * --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- q + p \|q - p --R / --R 4 2 2 3 3 2 --R ((a q - a p q )cosh(a x) + a p q - a p q)sinh(a x) --R + --R 4 2 2 2 3 3 2 2 --R (2a q - 2a p q )cosh(a x) + (4a p q - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q --R + --R 4 --R - 2a p --R * --R sinh(a x) --R + --R 4 2 2 3 3 3 2 --R (a q - a p q )cosh(a x) + (3a p q - 3a p q)cosh(a x) --R + --R 4 2 2 4 3 3 --R (a q + a p q - 2a p )cosh(a x) + a p q - a p q --R * --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 121 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R 2 2 2 --R (p q cosh(a x) + p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 3 --R (2p q cosh(a x) + 4p q cosh(a x) + 2p )sinh(a x) + p q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 --R 3p q cosh(a x) + (p q + 2p )cosh(a x) + p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 2q + 2p q)sinh(a x) + (- 2q + 2p q)cosh(a x) - 2p q + 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R 2 2 2 --R (2p q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 3 --R (4p q cosh(a x) + 8p q cosh(a x) + 4p )sinh(a x) + 2p q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 3 2 --R 6p q cosh(a x) + (2p q + 4p )cosh(a x) + 2p q --R * --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R \|- q + p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R + --R 2 3 2 2 --R - q sinh(a x) + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (- q cosh(a x) - 4p q cosh(a x) - q - 2p )sinh(a x) --R + --R 2 2 2 --R - 2p q cosh(a x) + (- 2q - 2p )cosh(a x) - 2p q --R * --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- q + p \|q - p --R / --R 4 2 2 3 3 2 --R ((a q - a p q )cosh(a x) + a p q - a p q)sinh(a x) --R + --R 4 2 2 2 3 3 2 2 --R (2a q - 2a p q )cosh(a x) + (4a p q - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q --R + --R 4 --R - 2a p --R * --R sinh(a x) --R + --R 4 2 2 3 3 3 2 --R (a q - a p q )cosh(a x) + (3a p q - 3a p q)cosh(a x) --R + --R 4 2 2 4 3 3 --R (a q + a p q - 2a p )cosh(a x) + a p q - a p q --R * --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 122 14:582 Axiom cannot simplify this expression cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) --R 2 3 2 2 --R - q sinh(a x) + (- 2q cosh(a x) - 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (- q cosh(a x) - 4p q cosh(a x) - q - 2p )sinh(a x) - 2p q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R (- 2q - 2p )cosh(a x) - 2p q --R / --R 4 2 2 3 3 2 --R ((a q - a p q )cosh(a x) + a p q - a p q)sinh(a x) --R + --R 4 2 2 2 3 3 2 2 --R (2a q - 2a p q )cosh(a x) + (4a p q - 4a p q)cosh(a x) + 2a p q --R + --R 4 --R - 2a p --R * --R sinh(a x) --R + --R 4 2 2 3 3 3 2 --R (a q - a p q )cosh(a x) + (3a p q - 3a p q)cosh(a x) --R + --R 4 2 2 4 3 3 --R (a q + a p q - 2a p )cosh(a x) + a p q - a p q --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.583~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2-q^2\cosh^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2-q^2\cosh^2{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2ap\sqrt{p^2-q^2}}\ln\left(\frac{p\tanh{ax}+\sqrt{p^2-q^2}} {p\tanh{ax}-\sqrt{p^2-q^2}}\right)\\ \\ \displaystyle \frac{1}{ap\sqrt{q^2-p^2}}\tan^{-1}\frac{p\tanh{ax}}{\sqrt{q^2-p^2}}\\ \end{array} \right.$$ <<*>>= )clear all --S 123 aa:=integrate(1/(p^2-q^2*cosh(a*x)^2),x) --R --R --R (1) --R [ --R log --R 4 4 4 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 4 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q - 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 4 2 2 --R (4q cosh(a x) + (4q - 8p q )cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 --R q cosh(a x) + (2q - 4p q )cosh(a x) + q - 8p q + 8p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 --R (- 4p q + 4p q )sinh(a x) + (- 8p q + 8p q )cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 5 --R (- 4p q + 4p q )cosh(a x) - 4p q + 12p q - 8p --R / --R 2 4 2 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q - 4p )sinh(a x) --R + --R 2 3 2 2 2 4 --R (4q cosh(a x) + (4q - 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (2q - 4p )cosh(a x) + q --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R 2a p\|- q + p --R , --R --R - --R atan --R 2 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + 2q cosh(a x)sinh(a x) + q cosh(a x) + q --R + --R 2 --R - 2p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R / --R 2 3 --R 2p q - 2p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q - p --R ] --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 124 bb1:=1/(2*a*p*sqrt(p^2-q^2))*log((p*tanh(a*x)+sqrt(p^2-q^2))/(p*tanh(a*x)-sqrt(p^2-q^2))) --R --R +---------+ --R | 2 2 --R - \|- q + p - p tanh(a x) --R log(----------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p - p tanh(a x) --R (2) --------------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R 2a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 125 bb2:=-1/(a*p*sqrt(q^2-p^2))*atan((p*tanh(a*x))/sqrt(q^2-p^2)) --R --R p tanh(a x) --R atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R (3) - ----------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 126 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R log --R 4 4 4 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 4 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q - 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 4 2 2 --R (4q cosh(a x) + (4q - 8p q )cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 --R q cosh(a x) + (2q - 4p q )cosh(a x) + q - 8p q + 8p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 --R (- 4p q + 4p q )sinh(a x) + (- 8p q + 8p q )cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 5 --R (- 4p q + 4p q )cosh(a x) - 4p q + 12p q - 8p --R / --R 2 4 2 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q - 4p )sinh(a x) --R + --R 2 3 2 2 2 4 --R (4q cosh(a x) + (4q - 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (2q - 4p )cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R - \|- q + p - p tanh(a x) --R - log(----------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p - p tanh(a x) --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R 2a p\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 127 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (5) --R +---------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 - \|- q + p - p tanh(a x) --R - \|q - p log(----------------------------) --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p - p tanh(a x) --R + --R - --R +---------+ --R | 2 2 --R 2\|- q + p --R * --R atan --R 2 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + 2q cosh(a x)sinh(a x) + q cosh(a x) + q --R + --R 2 --R - 2p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R / --R 2 3 --R 2p q - 2p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2a p\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 128 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R * --R log --R 4 4 4 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 4 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q - 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 4 2 2 --R (4q cosh(a x) + (4q - 8p q )cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 --R q cosh(a x) + (2q - 4p q )cosh(a x) + q - 8p q + 8p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 4 3 2 2 --R (- 4p q + 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 2 --R (- 8p q + 8p q )cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 5 --R (- 4p q + 4p q )cosh(a x) - 4p q + 12p q - 8p --R / --R 2 4 2 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q - 4p )sinh(a x) --R + --R 2 3 2 2 2 4 --R (4q cosh(a x) + (4q - 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (2q - 4p )cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 p tanh(a x) --R 2\|- q + p atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2a p\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 129 14:583 Axiom cannot simplify this expression cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R - --R atan --R 2 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + 2q cosh(a x)sinh(a x) + q cosh(a x) + q --R + --R 2 --R - 2p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R / --R 2 3 --R 2p q - 2p --R + --R p tanh(a x) --R atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q - p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q - p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.584~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2+q^2\cosh^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2+q^2\cosh^2{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2ap\sqrt{p^2+q^2}}\ln\left(\frac{p\tanh{ax}+\sqrt{p^2+q^2}} {p\tanh{ax}-\sqrt{p^2+q^2}}\right)\\ \\ \displaystyle \frac{1}{ap\sqrt{p^2+q^2}}\tan^{-1}\frac{p\tanh{ax}}{\sqrt{p^2+q^2}}\\ \end{array} \right.$$ <<*>>= )clear all --S 130 aa:=integrate(1/(p^2+q^2*cosh(a*x)^2),x) --R --R --R (1) --R log --R 4 4 4 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 4 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q + 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 4 2 2 4 4 --R (4q cosh(a x) + (4q + 8p q )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 4 2 2 2 4 2 2 4 --R (2q + 4p q )cosh(a x) + q + 8p q + 8p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 --R (- 4p q - 4p q )sinh(a x) + (- 8p q - 8p q )cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 5 --R (- 4p q - 4p q )cosh(a x) - 4p q - 12p q - 8p --R / --R 2 4 2 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q + 4p )sinh(a x) --R + --R 2 3 2 2 2 4 --R (4q cosh(a x) + (4q + 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (2q + 4p )cosh(a x) + q --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q + p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 131 bb1:=1/(2*a*p*sqrt(p^2+q^2))*log((p*tanh(a*x)+sqrt(p^2+q^2))/(p*tanh(a*x)-sqrt(p^2+q^2))) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|q + p - p tanh(a x) --R log(--------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p - p tanh(a x) --R (2) ------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 132 bb2:=1/(a*p*sqrt(p^2+q^2))*atan((p*tanh(a*x))/sqrt(p^2+q^2)) --R --R p tanh(a x) --R atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R (3) ----------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 133 cc1:=aa-bb1 --R --R (4) --R log --R 4 4 4 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 4 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q + 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 4 2 2 --R (4q cosh(a x) + (4q + 8p q )cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 --R q cosh(a x) + (2q + 4p q )cosh(a x) + q + 8p q + 8p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 --R (- 4p q - 4p q )sinh(a x) + (- 8p q - 8p q )cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 5 --R (- 4p q - 4p q )cosh(a x) - 4p q - 12p q - 8p --R / --R 2 4 2 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q + 4p )sinh(a x) --R + --R 2 3 2 2 2 4 --R (4q cosh(a x) + (4q + 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (2q + 4p )cosh(a x) + q --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|q + p - p tanh(a x) --R - log(--------------------------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p - p tanh(a x) --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 134 14:584 Axiom cannot simplify this expression cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R log --R 4 4 4 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 4 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q + 4p q )sinh(a x) --R + --R 4 3 4 2 2 --R (4q cosh(a x) + (4q + 8p q )cosh(a x))sinh(a x) --R + --R 4 4 4 2 2 2 4 2 2 4 --R q cosh(a x) + (2q + 4p q )cosh(a x) + q + 8p q + 8p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 --R (- 4p q - 4p q )sinh(a x) + (- 8p q - 8p q )cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 4 3 2 2 4 3 2 5 --R (- 4p q - 4p q )cosh(a x) - 4p q - 12p q - 8p --R / --R 2 4 2 3 --R q sinh(a x) + 4q cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 2 --R (6q cosh(a x) + 2q + 4p )sinh(a x) --R + --R 2 3 2 2 2 4 --R (4q cosh(a x) + (4q + 8p )cosh(a x))sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R (2q + 4p )cosh(a x) + q --R + --R p tanh(a x) --R - 2atan(-----------) --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2a p\|q + p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.585~~~~~$\displaystyle \int{x^m\cosh{ax}}~dx$} $$\int{x^m\cosh{ax}}= \frac{x^m\sinh{ax}}{a}-\frac{m}{a}\int{x^{m-1}\sinh{ax}}$$ <<*>>= )clear all --S 135 14:585 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*cosh(a*x),x) --R --R --R x --R ++ m --I (1) | cosh(%N a)%N d%N --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.586~~~~~$\displaystyle \int{\cosh^n{ax}}~dx$} $$\int{\cosh^n{ax}}= \frac{\cosh^{n-1}{ax}\sinh{ax}}{an}+\frac{n-1}{n}\int{\cosh^{n-2}{ax}}$$ <<*>>= )clear all --S 136 14:586 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cosh(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ n --I (1) | cosh(%N a) d%N --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.587~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cosh{ax}}{x^n}}~dx$} $$\int{\frac{\cosh{ax}}{x^n}}= \frac{-\cosh{ax}}{(n-1)x^{n-1}} +\frac{a}{n-1}\int{\frac{\sinh{ax}}{x^{n-1}}}$$ <<*>>= )clear all --S 137 14:587 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cosh(a*x)/x^n,x) --R --R --R x --I ++ cosh(%N a) --I (1) | ---------- d%N --R ++ n --I %N --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.588~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cosh^n{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{\cosh^n{ax}}}= \frac{\sinh{ax}}{a(n-1)\cosh^{n-1}{ax}} +\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{1}{\cosh^{n-2}{ax}}}$$ <<*>>= )clear all --S 138 14:588 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/cosh(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ----------- d%N --R ++ n --I cosh(%N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.589~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x}{\cosh^n{ax}}}~dx\$} $$\int{\frac{x}{\cosh^n{ax}}}= \frac{x\sinh{ax}}{a(n-1)\cosh^{n-1}{ax}} +\frac{1}{(n-1)(n-2)a^2\cosh^{n-2}{ax}} +\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{x}{\cosh^{n-2}}}$$ <<*>>= )clear all --S 139 14:589 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/cosh(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | ----------- d%N --R ++ n --I cosh(%N a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp88-89 \end{thebibliography} \end{document}